Dalam rangka merumuskan statistik BE, kita kembali memerlukan konsep ruang fase, yaitu ruang dengan 6 sumbu . Di sini tidak digunakan kecepatan melainkan momentum yang pada intinya identik sebab $\vec p = m\vec v$ . Dengan demikian elemen volume dapat dituliskan sebagai

$\begin{displaymath} H = dxdydzdp_xdp_ydp_z \end{displaymath}$

Dengan demikian, setiap molekul dapat direpresentasikan sebagai satu titik dalam ruang fase. Ingat, jika ruang fase dibuat dalam

dimensi, maka setiap titik akan bersesuaian dengan keadaan sistem pada satu saat tertentu.

Oleh karena prinsip ketidak-pastian Heisenberg, indexHeisenberg suatu titik representasi sistem kuantum harus dikoreksi. Representasi dengan titik berarti kita dapat menentukan posisi dan momentum pada saat yang bersamaan dan itu hanya berlaku untuk sistem klasik. Sistem kuantum mengharuskan partikel direpresentasikan oleh (compartment) yang dimensinya pada orde h^3 , dimana adalah tetapan Planck. .

Elemen volume memuat sejumlah sedemikian dapat didefinisikan jumlah dalam elemen volume adalah .

Bobot Statistik

$\begin{figure}\begin{center} \epsfig{file=GMB/bilik_be.eps,width=5.0cm} \end{center}\end{figure}$

Gambar 8.1: Keadaan Makro dan Mikro untuk statistik BE

Perumusan distribusi BE dari bobot statistik harus memperhitungkan kenyataan bahwa partikel tidak lagi dapat dibedakan (indistinguishable). Pertukaran partikel antar bilik, karena partikelnya tak-terbedakan tidak menyebabkan perbedaan keadaan mikro. Sebab itu, cara perhitungan bobot statistik untuk BE berbeda dengan MB.

Dalam diagram yang ditunjukkan oleh Gbr. 8.1 molekul digambarkan sebagai lingkarang kecil, bukan huruf. Pada bagian sebelah kiri mengingatkan kita pada statistik BM, dimana dan dan . Tetapi karena partikelnya tidak terbedakan, jumlah keadaan mikro yang bersesuaian dengan keadaan makro ini hanya satu. Pada bagian kanan diperlihatkan bahwa partikel membagi diri ke dalam sub-bilik sehingga menghasilkan jumlah sub-bobot statistik dan untuk . Bobot statistik untuk , dengan jumlah sub-bilik pada adalah dan sub-bilik untuk adalah . Di sini terlihat bahwa bobot statistik untuk sistem yang terdiri atas tingkatan energi adalah

$\begin{displaymath} \Omega = \Pi_{i=1}^n \Omega_i \end{displaymath}$

(8.2)

Penamaan statistik Bose-Einstein berhubungan dengan kenyataan bahwa partikel yang ditinjau adalah partikel boson, yaitu yang memiliki momen magnetik intrisik (spin) bulat. Partikel tidak diatur oleh larangan Pauli sehingga dapat berada pada tingkat energi yang sama dengan yang lainnya. Seperi dalam gambar, masih dimungkinkan jumlah partikel berada pada sub bilik yang sama lebih dari dua.

Partikel yang mengikuti prinsip larangan Pauli disebut fermion dan hanya boleh berada pada bilik yang sama maximum dua, dan statistiknya disebut statitistik Fermi-Dirac. . Spin dari fermion adalah bilangan rational, yaitu dimana adalah bilangan bulat.

Andaikan terdapat partikel boson yang terbagi ke dalam tingkatan energi. Pada masing-masing tinkatan energi terdapan partikel. Jika jumlah sub-bilik dalam masing-masing tingkatan energi adalah seragam, yaitu maka bobot statistiknya adalah

$\begin{displaymath} \Omega = \Pi_{i=1}^n \frac{(n + N_i - 1)!}{(n-1)! N_1!} \end{displaymath}$

(8.3)

Sama dengan prosedur sebelumnya,

$\begin{displaymath} \ln \Omega = \sum_{i=1}^n \ln (n + N_i - 1! - \ln(n-1)! - \ln N_1! \end{displaymath}$

(8.4)

Dengan menggunakan rumus Stirling diperoleh

$\begin{displaymath} \ln \Omega = \sum_{i=1}^n (n+N_i) \ln (n + N_i) - n\ln n - N_i \ln N_i \end{displaymath}$

(8.5)

Untuk entropi maksimum, maka variasi , sehingga

$\begin{displaymath} \delta \ln \Omega = \sum_{i=1}^n \left( \frac{ (n+N_i^o)}{N_i^o}\right)\delta N_i = 0 \end{displaymath}$

(8.6)

Jika jumlah partikel dan energi total tetap, maka diperoleh keadaan berikut

$\begin{displaymath} \delta N = \sum \delta N_i = 0, ~~~~~~ \delta U = \sum w_i \delta N_i = 0 \end{displaymath}$

(8.7)

Dengan menggunakan pengali Lagrange $-\ln \alpha$ dan $\beta$ diperoleh

$\begin{displaymath} \delta \ln \Omega = \sum_{i=1}^n \left( \frac{ (n+N_i^o)}{N_i^o}\right)\delta N_i = 0 \end{displaymath}$

(8.8)

Akhirnya diperoleh distribus BE, yaitu

$\begin{displaymath} \frac{N_i^o}{n} = \frac{1}{\alpha \exp (\beta w_i) - 1} \end{displaymath}$

(8.9)

Statistik BE dan MB memiliki pola yang sama, bedanya, ruas kiri adalah jumlah titik representasi dalam kompartmen serta pada ruas kanan penyebutnya dikurangkan